Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной. f (x)

Используя формулы и правила дифференцирования, найдите производные следующих функций:

1 . В чем состоит геометрический смысл производной? 2 . В любой ли точке графика можно провести касательную? Какая функция называется дифференцируемой в точке? 3 . Касательная наклонена под тупым углом к положительному направлению оси Ох. Что можно сказать о знаке производной и характере монотонности функции? 4 . Касательная наклонена под острым углом к положительному направлению оси Ох. Что можно сказать о знаке производной и характере монотонности функции? 5 . Касательная наклонена под прямым углом к положительному направлению оси Ох. Что можно сказать о производной?

для дифференцируемых функций: 0 ° ≤ α ≤ 180 ° , α ≠ 90 ° α - тупой tg α 0 f ´(x 1) >0 положение касательной не определено tg α не сущ. f ´(x 3) не сущ. α = 0 tg α =0 f ´(x 2) = 0

y = f / (x 0) · (x - x 0) + f(x 0) (x 0 ; f(x 0)) – координаты точки касания f ´ (x 0) = tg α = k – тангенс угла наклона касательной в данной точке или угловой коэффициент (х;у) – координаты любой точки касательной Уравнение касательной

№1. Найдите угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой х 0 = - 2. Задание В8 ФБТЗ ЕГЭ

№2. Укажите значение коэффициента k при котором графики линейных функций y = 8х+12 и y = k х – 3 параллельны. Ответ: 8. Задание В8 ФБТЗ ЕГЭ

0 У Х 1 -1 1 -1 №3. Функция у = f (х) определена на промежутке (-7; 7). На данном ниже рисунке изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = f (х), которые параллельны оси абсцисс. Ответ: 3. Задание В8 ФБТЗ ЕГЭ

№4. На рисунке изображена прямая, которая является касательной к графику функции у = p (х) в точке (х 0 ; p (х 0)). Найдите значение производной в точке х 0 . Ответ: -0,5. Задание В8 ФБТЗ ЕГЭ

0 У Х 1 -1 1 -1 №5. К графику функции f(x) провели все касательные параллельные прямой y=2x+5 или совпадающие с ней. Укажите количество точек касания. Ответ: 4. Задание В8 ФБТЗ ЕГЭ

Напишите уравнения касательных к графику функции в точках его пересечения с осью абсцисс. Самостоятельная работа

Фамилия, имя Тестирование Творческое задание Урок +,-, :), :(, : |

1 группа №1. В чем заключается геометрический смысл производной? № 2. Какими свойствами должна обладать функция у = f (x), заданная на интервале (a ; b), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b) ее график имел касательную? № 3. Какой вид имеет уравнение касательной? № 4. Составить уравнение касательной к графику функции f(x) =0,5 -4, если касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 45 градусов.

2 группа №1. В чем заключается геометрический смысл производной? № 2. Какими свойствами должна обладать функция у = f (x), заданная на интервале (a ; b), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b) ее график имел касательную? № 3. Какой вид имеет уравнение касательной? № 4. Напишите уравнение касательной к графику функции f (x) = , параллельной прямой y = 9 х – 7.

3 группа №1. В чем заключается геометрический смысл производной? № 2. Какими свойствами должна обладать функция у = f (x), заданная на интервале (a ; b), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b) ее график имел касательную? № 3. Какой вид имеет уравнение касательной? № 4. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции у = f (х) в точке А (-7;14). Найдите.

4 группа №1. В чем заключается геометрический смысл производной? № 2. Какими свойствами должна обладать функция у = f (x), заданная на интервале (a ; b), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b) ее график имел касательную? № 3. Какой вид имеет уравнение касательной? № 4. Прямая у=-4х-11 является касательной к графику функции. Найдите абсциссу точки касания.

Предварительный просмотр:

Сценарий урока
по алгебре и началам анализа в 10 классе.

Тема: «Геометрический смысл производной. Уравнение касательной»

Цели: 1) продолжить формирование системы математических знаний и умений по теме «Уравнение касательной», необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

2) развивать навыки использования компьютера и мультимедийных учебных программ для организации собственной познавательной деятельности;

3) развивать логическое мышление, алгоритмическую культуру, критическое мышление;

4) воспитывать толерантность, коммуникативность.

Ход урока.

1. Организационный момент.
2. Сообщение темы, постановка целей урока.
3. Проверка домашнего задания.

1. Задания базового уровня (отсканированная работа)
2. Задачу практического содержания повышенного уровня сложности обучающиеся решали по выбору. Один из учеников представляет свое решение в форме мультимедийного проекта: «Строится мост параболической формы, соединяющий пункты А и В, расстояние между которыми равно 200 м. Въезд на мост и съезд с моста должны быть прямолинейными участками пути, эти участки направлены к горизонту под углом 150. Указанные прямые должны быть касательными к параболе. Составьте уравнение профиля моста в заданной системе координат»

1. Актуализация опорных знаний.

1. Продифференцируйте функции:

• ()
• y=4 ()
• y=7x+4 ()
• y=tg x+ ()
• y=x 3 sin x ()
• y= ()

1. Ответьте на вопросы:

• В чем состоит геометрический смысл производной?
• В любой ли точке графика можно провести касательную? Какая функция называется дифференцируемой в точке?
• Касательная наклонена под тупым углом к положительному направлению оси Ох. Что можно сказать о знаке производной и характере монотонности функции?
• Касательная наклонена под острым углом к положительному направлению оси Ох. Что можно сказать о знаке производной и характере монотонности функции?
• Касательная наклонена под прямым углом к положительному направлению оси ОХ. Что можно сказать о знаке производной и характере монотонности функции?
• Как должен выглядеть график дифференцируемой в точке функции?

1. Какой вид имеет уравнение касательной? Объясните, что в данном уравнении (х 0 ; f(х 0 )) , f ’ (х 0 ), (х;у)
2. Найдите угловой коэффициент касательной к кривой y=2х 2 +х в точке с абсциссой х 0 =-2 (-7).
3. Укажите значение коэффициента k при котором графики линейных функций y = 8х+12 и y = kх – 3 параллельны. (8)
4. Функция у = f(х) определена на промежутке (-7; 7). На данном ниже рисунке изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = f(х), которые параллельны оси абсцисс. (3)
5. На рисунке изображена прямая, которая является касательной к графику функции у = p(х) в точке (х 0 ; p(х 0 )). Найдите значение производной в точке х 0 . (-0,5)
6. К графику функции f(x) провели все касательные параллельные прямой y=2x+5 или совпадающие с ней. Укажите количество точек касания. (4)

1. Самостоятельная работа с выборочной проверкой (один уч-ся выполняет задание за доской). Напишите уравнения касательных к графику функции f (x ) = 4 – x 2 в точках его пересечения с осью абсцисс. (у=-+4х+8). Демонстрация иллюстрации.
2. Работа в творческих группах по 5-6 человек.

1. По очереди пройти компьютерное тестирование (Дополнительное тестирование к уроку 5, вар. 1 и 2 «Уроки алгебра Кирилла и Мефодия»). Результаты вносят в диагностическую карту.
2. Выполнить в тетрадях задания:

1 группа

у = f (x ), заданная на интервале (a ; b ), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b

№ 4. Составить уравнение касательной к графику функции f(x) =0,5 х 2 -4, если касательная образует с осью х угол 45 0 .

2 группа

№1. В чем заключается геометрический смысл производной?

№ 2. Какими свойствами должна обладать функция у = f (x ), заданная на интервале (a ; b ), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b ) ее график имел касательную?

№ 3. Какой вид имеет уравнение касательной?

№ 4. Напишите уравнение касательной к графику функции f (x ) = x 3 /3 , параллельной прямой y = 9 х – 7.

3 группа

№1. В чем заключается геометрический смысл производной?

№ 2. Какими свойствами должна обладать функция у = f (x ), заданная на интервале (a ; b ), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b ) ее график имел касательную?

№ 3. Какой вид имеет уравнение касательной?

№ 4. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции
у = f (х ) в точке А (-7;14). Найдите . (Задание из КИМ по подготовке к ЕГЭ)

4 группа

№1. В чем заключается геометрический смысл производной?

№ 2. Какими свойствами должна обладать функция у = f (x ), заданная на интервале (a ; b ), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b ) ее график имел касательную?

№ 3. Какой вид имеет уравнение касательной?

№ 4. Прямая y=-4x-11 является касательной к графику функции f(x)=x 3 +7x 2 +7x-6. Найдите абсциссу точки касания. (Задание из КИМ по подготовке к ЕГЭ)

Отчет о проделанной работе выполняет у доски один из группы. Его выбирает учитель или группа. В диагностическую карту заносят отметку отвечавшего и самооценку каждого участника группы.

1. Подведение итогов урока. Рефлексия.
2. Домашнее задание состоит из упражнений В8 ФБТЗ ФИПИ.

, Геометрический смысл производной

Тип урока: изучение нового материала.

Цель урока: выяснить, в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной к графику функции.

Познавательная задача: сформировать представление о геометрическом смысле производной, умения составлять уравнение касательной к графику функции в заданной точке, находить угловой коэффициент касательной к графику функции, угол между касательной к графику и осью Ох.

Развивающая задача: продолжить формирование умений и навыков работы с научным текстом, умения анализировать информацию, способность ее систематизировать, оценивать, использовать; развитие логического мышления, сознательного восприятия учебного материала.

Воспитательная задача: повышение интереса к процессу обучения и активного восприятия учебного материала, развитие коммуникативных навыков работы в парах, группах.

Практическая задача: формирование навыков критического мышления как творческого, аналитического, последовательного и структурированного мышления, формирование навыков самообразования.

Форма урока: проблемный урок с использованием технологии развития критического мышления (ТРКМ).

Используемая технология: технология развития критического мышления, технология работы в сотрудничестве

Используемые приемы: “Корзина идей”,“Толстые и тонкие вопросы”,верные, неверные утверждения, ИНСЕРТ, кластер, “Шесть шляп мышления”.

Оборудование: презентация PowerPoint, интерактивная доска, раздаточный материал (карточки, текстовый материал, таблицы), листы бумаги в клетку,

Ход урока

Стадия вызова:

1. Вступление учителя.

Мы работаем над освоением темы “Производная функции”. Вы уже обладаете знаниями и умениями по технике дифференцирования. Но зачем необходимо изучать производную функции?

“Корзина идей”.

Предположите, где можно использовать полученные знания?

Ученики предлагают свои идеи, которые фиксируются на доске. Получаем кластер, который к концу урока может значительно разветвиться.

Как видите, у нас нет однозначного ответа на этот вопрос. Сегодня мы попытаемся частично ответить на него. Тема нашего урока “Геометрический смысл производной”.

Мотивация деятельности.

Из открытого банка заданий на сайте ФИПИ, материалов подготовки к ЕГЭ я выбрала несколько заданий, в которых есть термины “функция” и “производная”. Это задания В8. Они лежат перед вами на партах.

Примеры заданий В8. Задание. На рисунках изображены графики функций y = f(x) и касательные к ним в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Можете ли вы предложить способ решения данных заданий? (Нет)

Вот сегодня мы научимся решать такие задания и подобные им.

2. Актуализация опорных знаний и умений.

Работа в парах “Составь пару”. Приложение №1

Перед вами таблица. В клетках таблицы в беспорядке записаны функции и их производные. Для каждой функции найдите производную и запишите соответствие номеров клеток.

Время работы

• 2 мин каждый ученик работает самостоятельно.
• 2 минуты - работа в парах. Обсуждение результатов и запись в карточку ответов.
• 1 минута – проверка работы.

1. Что было легким, а что не получилось?
2. Нахождение производных каких функций вызвало затруднения?

3. Работа со словарем урока.

Словарь урока: производная; функция, дифференцируемая в точке; линейная функция, график линейной функции, угловой коэффициент прямой, касательная к графику, тангенс угла в прямоугольном треугольнике, значения тангенсов углов (острого, тупого).

Ребята, задайте друг другу вопросы, используя слова словаря не менее 4 вопросов. Вопросы не должны предполагать ответы “да”, “нет”.

Затем по одному заданному вопросу и ответу выслушиваем от каждой пары, вопросы не должны повторяться.

На столах у вас лежат карточки с вопросами. Все они начинаются со слов “Верите ли вы, что…”

Ответ на вопрос может быть только “да” или “нет”. Если “да”, то справа от вопроса в первом столбце поставьте знак “+”, если “нет”, то знак “-”. Если сомневаетесь - поставьте знак “?”.

Работайте в парах. Время работы 3 минуты. (Приложение №2)

Заслушав ответы учащихся, заполняется первый столбец сводной таблицы на доске.

Стадия осмысления содержания (10 мин.).

Подводя итоги работы с вопросами таблицы, учитель готовит учеников к мысли, что, отвечая на вопросы, мы пока не знаем, правы мы или нет.

Задание группам. Ответы на вопросы можно найти, изучив текст §8 стр. 84-87 (или предложенные листы с извлечением материала параграфа, на которых можно свободно делать рукописные пометки), используя прием ИНСЕРТ - прием смысловой маркировки текста .

V - уже знал(а)

– - думал(а) иначе

Не понял(а)

Обсуждение текста параграфа §8.

Что вы уже знали, что для вас – новое, а что вы не поняли?

Обсуждение, разъяснение непонятого.

Ответы групп на вопросы:

Какой знак имеет f " (x 0)?

Стадия рефлексии . Предварительное подведение итогов.

Вернемся к вопросам, рассмотренным в начале урока, и обсудим полученные результаты. Посмотрим, может быть, наше мнение после работы изменилось.

Учащиеся в группах сопоставляют свои предположения с информацией, полученной в ходе работы с учебником, вносят в таблицу изменения, делятся мыслями с классом, обсуждают ответы на каждый вопрос.

Стадия вызова.

Как вы думаете, в каких случаях, при выполнении каких заданий можно применить рассмотренный теоретический материал?

Предполагаемые ответы учащихся: нахождение значения производной функции f(x) в точке x 0 по графику касательной к функции; угла между касательной к графику функции в точке х 0 и осью Ох; получение уравнения касательной к графику функции.

Предлагаю начать работу над алгоритмами нахождения значения производной функции f(x) в точке x 0 по графику касательной к функции; угла между касательной к графику функции в точке х 0 и осью Ох; получения уравнения касательной к графику функции.

Составьте алгоритмы:

1. нахождения значения производной функции f(x) в точке x 0 по графику касательной к функции;
2. угла между касательной к графику функции в точке х 0 и осью Ох;
3. получения уравнения касательной к графику функции.

Стадия осмысления содержания.

1) Работа по составлению алгоритмов.

Каждый выполняет работу в тетради. А затем, обсудив в группе, приходят к единому мнению. После завершения работы представитель каждой из групп выступает с защитой своей работы.

Алгоритм нахождения значения производной функции f(x) в точке x 0 по графику касательной к функции.

Алгоритм нахождения угла между касательной к графику функции в точке х 0 и осью Ох.

.Алгоритм получения уравнения касательной к графику функции

Записать уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой x 0 в общем виде.

Найти производную функции f " (x);.

Вычислить значение производной f " (x 0);

Вычислить значение функции в точке x 0 ;

Подставить найденные значения в уравнение касательной y = f(x 0) + f"(x 0)(x-x 0)

1) Работа по применению изученного на практике. (Приложение №4)

2) Рассмотрение заданий В8.

На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0

Задача 2. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Задача 3. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Задача 4. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Ответы. Задача 1. 2. Задача 2. -1 Задача 3. 0 Задача 4. 0,2 .

Рефлексия.

Подведем итоги.

• Самооценка

“Лист самопроверки, самооценки”

Фамилия, имя	Задания
	Самостоятельная работа “Составь пару”	“Словарь урока” (за каждый верный ответ 0,5 б.)	“Верите ли вы, что…” (до 9 б.)	Ответы на вопросы к тексту (за каждый верный ответ 1 б.)	Составление алгоритма (до 3 б.)	Задачи по графикам (до 3 б.)	Тренировочное задание (до 6 б.)
Критерии оценки: “3” - 20-26 баллов; “4” - 27 – 32 балла; “5” - 33 и более

• Зачем необходимо изучать производную функции? (Для исследования функций, скорости протекания различных процессов в физике, химии...)

• Используя прием “Шесть шляп мышления”, мысленно надевая шляпу определенного цвета, проанализируем работу на уроке. Смена шляп позволит нам увидеть урок с разных позиций для получения наиболее полной картины.

Белая шляпа: информация (конкретные суждения без эмоционального оттенка).

Красная шляпа: эмоциональные суждения без объяснений.

Черная шляпа: критика – отражает проблемы и трудности.

Желтая шляпа: позитивные суждения.

Зеленая шляпа: творческие суждения, предложения.

Синяя шляпа: обобщение сказанного, философский взгляд.

На самом деле мы только прикоснулись к решению заданий на использование геометрического смысла производной. Дальше нас ожидают еще более интересные, разнообразные и сложные задания.

Домашнее задание: § 8 стр.84-88, № 89-92, 94-95 (четные).

Литература

1. Заир.Бек С.И. Развитие критического мышления на уроке: пособие для учителей общеобразоват. учреждений. – М. Просвещение, 2011. – 223 с.
2. Колягин Ю.М. Алгебра и начала анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни. – М.: Просвещение, 2010.
3. Открытый банк заданий по математике http://mathege.ru/or/ege/Main.html?view=TrainArchive
4. Открытый банк заданий ЕГЭ/Математика http://www.fipi.ru/os11/xmodules/qprint/afrms.php?proj=

Интернет-сайты, связанные с тематикой критического мышления

Critical Thinking http://www.criticalthinking.org/
http://www.ct-net.net/ru/rwct_tcp_ru

Слайд 2

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. А.Н.Крылов

Слайд 3

Цель урока

1) выяснить, в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнения касательной к графику функции 2) Развивать ОУУН мыслительной деятельности: анализ, обобщение и систематизация, логическое мышление, сознательное восприятие учебного материала 3) формировать умение оценивать свой уровень знаний и стремление его повышать, способствовать развитию потребности к самообразованию. Воспитание ответственности, коллективизма.

Слайд 4

Словарь урока

производная, линейная функция, угловой коэффициент, непрерывность, тангенсы углов (острый, тупой).

Слайд 5

Составь пару 3 мин каждый ученик работает самостоятельно, 2 минуты - работа в парах. Обсуждение результатов и запись в карточку ответов. (Карточка №1 остается у ученика для самоконтроля, карточка №2 должна быть сдана учителю)

Слайд 6

Ответ.

Составь пару

Слайд 7

Определение

Функция заданная с помощью формулы у=кх+b называется линейной. Число k=tg называется угловым коэффициентом прямой.

Слайд 8

y x -1 0 1 2 y=кх+b

Слайд 9

y x -1 0 1 2 y=кх+b

Слайд 10

y x 0 y=yₒ+к(х-xₒ)   x-xₒ y-yₒ xₒ x Mₒ(xₒ;yₒ) M(x;y) A(x;yₒ)

Слайд 11

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку (х0;у0) у=у0+k(x-x0) Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку (х0;у0) у=у0+k(x-x0) (1) Угловой коэффициент прямой проходящий через точки (х1;у1) и (х0;у0) (2)

Слайд 12

y x -1 0 1 2 Найдите угловой коэффициент прямой y=кх+b

Слайд 13

Определение

Касательной к графику функции у=f(x) называется предельное положение секущей. рисунок

Слайд 14

касательная секущая

Слайд 15

Практическая исследовательская работа Геометрический смысл производной

Цель: Используя данные практической работы определить, в чем состоит геометрический смысл производной Оборудование: Линейки, транспортиры, микрокалькуляторы, миллиметровая бумага с построенным графиком

Слайд 16

Задание

1. Постройте касательную к графику функции … в точке с абсциссой хₒ=2 2. Измерьте угол, образованный касательной и положительным направлением оси оХ. 3. Записать =… . 4. Вычислите с помощью микрокалькулятора tg=… . 5. Вычислите f´(xₒ), для этого найдите f´(x) 6. Запишите: f´(x)=…. ; f´(xₒ)=…. 7. Выберите две точки на графике касательной, запишите их координаты. 8. Вычислите угловой коэффициент прямой k по формуле 9. Результаты вычисления внесите в таблицу

Слайд 17

Геометрический смысл производной

Значение производной функции y=f(х)в точке х0 равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(х) в точке (х0;f(x0))

Слайд 18

Слайд 19

Слайд 20

Слайд 21

Уравнение касательной к графикуфункции

1. Запишите уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящую через точку 2. Замените k на, а у=у0+k(x-x0)

краткое содержание других презентаций

«Тригонометрические формулы» - Cos x. Cos. Ф-лы преобразования суммы в произв.. Sin (x+y). Формулы двойного аргумента. Формулы преобр. произв. в сумму. Формулы сложения. Тригонометрия. Tg . Sin x. Соотнош. между ф-ями. Ф-лы половинного аргумента. Тригонометрические уравнения.

«Вычисление площади криволинейной трапеции» - Площади криволинейных трапеций. Формулы для вычисления площади. Какая фигура называется криволинейной трапецией. Повторение теории. Площадь криволинейной трапеции. Найти первообразную функции. Какие из фигур являются криволинейными трапециями. Решение. Шаблоны графиков функций. Готовимся к экзаменам. Фигура, не являющаяся криволинейной трапецией.

«Определить, чётная или нечётная функция» - Нечетные функции. Не является четной. Функция. График нечетной функции. Является ли четной функция. Столбик. График четной функции. Четные функции. Функция - нечетная. Симметрия относительно оси. Пример. Является ли нечетной функция. Не является нечетной. Четные и нечетные функции.

«Логарифмы и их свойства» - Свойства степени. Таблицы логарифмов. Свойства логарифмов. История возникновения логарифмов. Повторить определение логарифма. Вычислите. Применение изученного материала. Проверьте. Определение логарифма. Открытие логарифмов. Найдите вторую половину формулы.

««Логарифмические неравенства» 11 класс» - Применение теоремы. log26 … log210 log0,36 … log0,310. Определение. > ,Т.К. 6<10 и функция у=log0,3x - убывающая. Повторить свойства логарифмической функции. График какой функции изображен на рисунке? Сравните числа: Логарифмические неравенства. < , Т.К. 6<10 и функция у=log2x - возрастающая. Найдите область определения функции: Если а>1, то logа f(x)>logа g(x) ? Если 0<а<1, то logа f(x)>logа g(x) ?.

«Множество первообразных» - Первообразная. Выберите первообразную для функций. Определение уровня знаний. Решение нового типа заданий. Фронтальный опрос. Проверка выполнения. Выходной контроль. Обучающая самостоятельная работа. Понятие интегрирования. Общий вид первообразных. Формулы. Система оценивания.